数学探究课——镶嵌

辽宁省葫芦岛市龙港区完全中学

褚瑞新

在实施素质教育的大潮中，探究性学习作为一个崭新的课题理念和形式进入初中课本。我有幸参加了由省教育学院组织的“探究性学习 ”的实验项目，在实践中我取得了一些成效，现把教学实例呈现给同行们。

探究课题：九年义务教育三年制初级中学几何第三册

７·１９探究活动课：镶嵌

一正文

1.1作课背景 ：

改革开放以来，在党中央的正确领导下，人民的生活水平有了很大提高，特别是人均住房面积比以前有了很大的提高。我也终于实现了多年以来的愿望，住上了宽敞明亮的楼房。在装修楼房时，自然要到装饰材料市场进行一番考察。其中地面的装修基本上是正方形地板砖或长方形的木地板，这些呆板的几何图形促使我想到了能不能用我们所学的各学科知识，自己设计一些美丽的几何图形来一改往日陈旧的家庭装修，从而美化我门的家园呢？我的想法立即得到学生的赞同。于是由家庭装修引发的一次探究性活动—镶嵌，拉开了维幕

1.2活动目的 ：

教师通过引导学生对镶嵌几何图形的思考，进一步组织、引导学生去探究此活动。学生通过动手实践进行思考问题，探究解决问题。目的是培养学生的动手能力、观察能力、审美能力，从而培养他们应用教学知识的意识，激发他们探究实践问题的热情。

1.3活动方法 ：

深入生活调查研究，收集信息讨论思考

小组合作设计方案，成果汇报精彩不断

1.4活动准备:

在课前我和同学们走遍了葫芦岛市的新、老城区，用相机拍摄出一幅幅由几何图形描绘出来的美好生活。我们又调查了几家装饰公司，基本了解了目前的家庭装修状况

1.5课堂实录

上课时间：2001年11月

课题：７·１９—探究性活动：镶嵌　

教师：进几年来，人们生活水平有了很大提高，特别是住房条件有了很大的改善，我有幸在新区购买了一幢100平方米的楼房，可地面的装修不太令我满意。早在几天前，我就请同学们帮我收集一些图案，不知同学们准备好了吗　？

同学：准备好了。

教师：那就请同学们把通过社会调查搜索到的图案展示到前面来（学生纷纷把调查结果展示出来。）

教师：同学们收集的资料真是太好了，这几天来我也没闲着，我也收集了一些由几何图形镶嵌在一起的美丽图案，这些美丽的图案装点着我门的大街小巷，使我们的环境更加美好。这些美丽的图案是由一些形状相或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重复地全部覆盖，在几何里叫做平面镶嵌。如果让你设计几种地板图案，需要解决如下问题：

１.如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面

２.如果允许用几种正多边形组合起来镶嵌，由哪几种正多边形组合起来能镶嵌成一个平面

教师：那么就先请同学们尝试用同一种正多边形镶嵌，体会哪些正多边形可以镶嵌在一起，那些不能？

(各组学生拿出事先准备好的正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正七边形等等动手操作，探究用同一种正多边形做平面镶嵌需要满足的条件，十分钟之后，各组图案相继摆出.)

教师：请各组把做平面镶嵌的情况汇报一下。

学生一组：我们组发现用正三角形、正方形、正六边形都可以。

教师：那么有没有用正五边形镶嵌成功的？

学生三组：我们组做了这方面的尝试，结果发现有一缝隙不能覆盖，用正八边形也如此。

教师：那么用同一正多边形做平面镶嵌，在一个顶点周围有K个正N边形的角，这些角的和应为多少呢 ？

学生：360°

教师：那么K与N存在怎样的关系呢？

学生：k(n-2)180°/n=360即(n-2)(k-2)=4

这和同学们动手摆出的结果是一样的，也和我们事先拍摄的相片的情形是一样的。正是这些较规则的图形做平面镶嵌，才使我们的城市整洁、美丽。当我们每天走在这样的道路上时，都会体会到数学给予我们的美。但是仅仅是这些图形是远远不够的，作为我们青年人来说，需要有创新。我们能不能尝试用几种不同边数的正多边形镶嵌，也许你会发现生活会更美。所以我家的客厅想要与众不同，那么就请在座的各位同学帮助老师用几种不同的正多边形镶嵌，看哪组同学设计的有新意，现在开始。（学生分组动手操作，教师放录音—钢琴曲《献给爱丽斯》营造和谐、温馨的氛围。20分种后学生做成果汇报）

教师：好了，经过大家的辛勤劳动，我们四个组的作品都已经出来了。现在你们手中的作品如同一件商品，你只有把它推销出去才能获取价值。现在我们就把课堂暂时变成一个产品博览会场，请各为商家逐一说明你们设计的意图，图案代表的含义及优缺点。其它组的同学对该组同学提出问题，现在开始。（四个组的同学相继介绍了本组的设计思路和设计意图，其它各组同学纷纷提出疑问，该组同学答记者问。）教师适当点拨，看待问题时不能总看别人的缺点、要从正反两方面看问题。取他人之长，补自己之短。每组学生都对自己设计的图案赋予了诗意。他们的想象力真是令人惊叹，尤其是他们的唇枪舌战更是令会上教师赞叹不已，对学生每件作品的情况详件附录内容。

教师：同学们的作品完成的非常好，我会积极采纳大家的建议，同时我也会把同学们的作品推荐给商家，相信不久的将来同学们的装修观念会形成一种潮流涌入家庭，此外一般的凸多边形（不是正多边形）也能用来做平面镶嵌，有兴趣的同学也可以有自己的研究、尝试。

１.６课后记

一堂数学探究课使学生兴趣盎然，爱学数学，觉得学数学不是一种负担、一种苦役、而是一种需要，一种乐趣，这是求知的需要，这是探究的乐趣。学生在探究中，创新精神和创新能力也不断得到提高，我想，这就是素质教育。

与会的教师们对这节课给了高度的评价，通过这节课，我也深体会到了探究给学生带来的无限空间和乐趣。那么在以后的教学中不但象这样的数学活动课可以采取这样的探究方式，同样任何一个小小的数学问题都可以让学生在探索研究中分析问题、多角度、多方面去思考。

通过上节数学探究课，使我感到自己知识的浅簿，这

就需要我们教师要不段加强自身学习，提高自己。更新自己的知识结构，同时自己还要有很强的组织能力。

二．附录：

为了上好这堂数学探究课，我和同学们准备了很长一段时间，深入社会调查、体验、拍摄了很多现实生活中作平面镶嵌的照片。这些照片让学生再一次体会到了现实生活中处处有数学。

这几张相片是从道路两旁的甬路上和住宅楼前的道路上拍到的。整齐的几何图形、色彩和谐的颜色，令人们心情宽敞愉快。

这几幅照片是在一个文化广场拍摄到的。巨大的正方形内部搭配红、黄、白三种颜色，给人们以色彩明快之感。

由四边形拼凑的圆形广场更是给人以视觉上的宽敞

这是广场四周的人行路，由矩形错落镶嵌起来的平面给以幽长的立体感。

这是一家理发店门前的装饰，蓝、白相间的正方形图形给人以兰天、白云的清新感觉。

这些几何镶嵌图形确实让学生体会——数学本来就是美。

以下几幅作品是当时学生创作出来的，他们不但用几种不同的正方形作平面镶嵌，而且进行颜色搭配。更主要的是他们对每幅图都赋予了一定的含义。

这是第一组学生的作品，他们是用正六边形和正三角形镶嵌的。他们的主题是“鲜花献老师”。一个正六边形和周围的六个三角形组成了一朵开放的鲜花。这朵鲜花代表学生的心，既表达了对老师的感激之情，同时也祝愿老师心情愉快、心花怒放。

这是第二组学生的作品，他们是用正八边形和正方形组成。学生的广告词是：这是为教师家庭设计的地面装饰图案。这个图案代表教师的辛勤劳动换来桃李满天下，他们分布在祖国的“四”面“八”方，为祖国的建设贡献力量。但无论何时何地，“四”面“八”方的儿女们不会忘记曾培养他们的老师。祝愿老师和家欢乐、万事如意。

==-----    

这是第三组学生的作品，他们是由正三角形和正方形组成。他们是这样说的：老师一生为人“正”直，而三角形又具有稳定性，由这两种几何图形组成的平面让人感觉生活在一个稳定的港湾，同时经过色彩的装点，使家里显得浪漫，祝愿老师每天都有一个好心情。

同学们一句句可人的话语，处处表达了他们对老师的爱。老师和学生的情感在这里得到了交融，同时也使我体会到了做教师的快乐。

这堂数学探究课还没有结束，课下我让他们跳出本节课的圈子，自己任意设计家庭装修的图案，并配以文字说明材料，现把学生的作品展现如下：

三．教学分析：

探究性教学是指在教师指导下，学生运用探究方法进行学习，主动获取知识、发展能力的实践活动，其目的在于培养学生的创新精神和实践能力。因而教学过程不应是教师从书本上力图准确无误地搬运知识的过程，而是一个连续地，生动活泼地与学生的感性认识与理性认识相符和的过程。教师所追求的不是仅仅给学生讲述明白，而应力图通过自己的“示范”  由学生主动探索，主动思考，亲身体验 ‘活生生’数学思维活动，揭示出隐藏在具体知识内容背后的思想方法

数学探究性教学过程，从教学认识过程的任务来看，其根本目的不在于仅仅获得和验证真知，更主要地是为了在一定知识经验之上去建构学生主体的新的认知活动结构和实践行为能力。因此，探究性教学过程更多地是强调探究过程对于学生个体发展的意义。

3.1本节课从探究目标上看，是让学生探索如何用几何图形作镶嵌平面。从知识目标上看，是让学生探究出一种正多边形镶嵌时，在一个顶点周围有k个正n边形的角,k与n满足的条件是（n-2）(k-2)=4 。若用两种正多边形镶嵌，如用正三角形与正方形作平面镶嵌，则有了3个正三角形和2个正方形；如果由正三角形与正六边形作平面镶嵌，则由4个正三角形和一个正六边形组成或由两个正三角形和2个正六边形作平面镶嵌。假设用三种不同的正多边形镶嵌，如果正多边形的边数分别为n_1， n_2， n_3。则满足条件1/n₁+1/n₂₊1/n₃= 1/2。对于这一知识目标的探究，我主要采取让学生动手操作，改变学生学习数学的方式，使学生“做中学”，力图通过学生“做”的主动探究过程来培养学生的创新精神、动手能力和解决问题的能力。在应用能力上注重学生对知识的迁移，充分发挥学生的想象力，给学生的自由空间。对于学生的成果，我用更多鼓励的语言调动学生学习的积极性。

3.2 从本节课的教学过程来看，我什么采取如下的步骤：即明确问题、确定探究方向、组织探究、收集资料、整理资料、得出结论、考虑社会活动。

探究性思想活动的表现需要有一定的激发条件，因此，探究性教学常采用问题教学法，“问题”成为教学活动的开端，成为贯穿整个教学活动的主线，成为教学活动的归宿。我的问题是由与现实生活联系及为密切的家庭装修为背景，使学生探索结论的欲望悄然注入学生的心田。激起了学生探究的好奇、好胜的心理。所以，只要教师全面把握探究教学的目的，找准探究性思维问题与教材内容之间的结合点，就能创设出多种多样的问题情境。

美国心理学家与所提出的“探究学习理论”主张“学生通过自主地参与或得知识的过程，掌握研究自然所必需的探索能力，同时形成认识自然的基础——科学概念，进而培养探索未知世界的积极态度。

在创设“问题情境”后，如何解决、用什么方法解决，需要有一个问题定向，即确定探究方向。在这一阶级，探究性教学所需完成的任务是针对问题的阶段提出实质性的问题，寻找解答的方案或办法。

在新授课的教学环节上，我仍坚持以创设情境、引导学生探索方式进行。

（1）创设观察情境，引导学生在实验中探索。

创设观察情境，能使学生产生明显的意识倾向和感情共鸣。因此，我通过出示事先拍好的照片，使学生在观察、类比中探索并获得新知。

    （2）创设动手情境，引导学生在实验中探索。

对于由同一正多边形作平面镶嵌需满足的条件，先由学生自己动手操作，然后再从理论上验证。

   （3）创设疑问情境，引导学生在质疑中探索。

叶圣陶先生说道：老师的作用“不在于全盘授予，而在于相机诱导，必令学生运其才智，勤其练习，领悟之源广开，纯熟之功弥深。”因此，我在教学生，不是把“全息”传递给学生，而是在教学中，根据教材的实际内容，精心设置疑虑，制造空白，让学生自己充当一个发现者、研究者、探索者，然后通过师生双方共同质疑、释疑来完美地填补所制造的空白。因此，在由几种不同边数的正多边形镶嵌又可以拼出哪些美丽平面图形的问题，就分组探究，体会合作学习、主动探究给他们带来的无尽乐趣。

   （4）创设趣味情境、引导学生在创造中探索。

在教学中如何创设能激发学生思维的积极性、主动性的问题情景，是让探索者积极探究的一个关键，为此我在学生探索给他们带来的喜悦之余，又向更高层次发展，把他们创造的作品作广告宣传，让他们体会一下作商人的乐趣。在辩论之中，各小组的独特创意令我振奋，他们的应变能力也令我折服。

在整个“实验—探究—论证”的过程中，学生无不以一个探索者的身份参与到教学活动之中，并对用几何图形作平面镶嵌留下了深刻的印象。

3.3对探究性学习的特征分析

（1）探究性学习的特征是学生学习主动、能有兴趣、有信心、有责任感地探究和解决问题，通过提出和他们生活密切相关的家庭装修问题，是他们能够自然而然的以小主人的身份投入到教学活动中。

    （2）学生通过亲身实践获得的知识和技能、学习效率高。

探究性学习是把学生视为“小科学家”，即让他们通过一系列的科学探索活动去发现科学结论，而不是将现成的结论直接告诉学生，这些从实践中获得的知识，学生更容易理解和记忆，并更容易被应用到实践当中。

    （3） 教室由封闭走向开放、实现课内外和校内外的结合。

探究式学习是一种开放性、参与式的教学形式，它不局限于一门课或几本书，《镶嵌》这节活动课不仅需要学生有数学知识，同时还要有美术方面的知识。学生通过走出校园，用自己的眼睛去观察景色，陶冶了他们的情感，体验到了现实生活中的数学美。

探究式学习不以学生经过探究得出的一两个结论而告终，它要求学生把自己得出的结论运用到现实生活中去，参与社会活动，服务于社会，培养学生用数学的意识。

参考文献：1、九年义务教育阶段国家数学课程标准

2、中学数学教学参考

3、数学教学研究