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(二)空间与图形
《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形”是出于什么考虑？如何看待“空间与图形”的教育价值？从“几何”到“空间与图形”，《标准》加强和削弱了哪些内容？每部分内容的处理又有哪些具体的特色和要求？本章拟就以上问题加以讨论。 1．教育价值 教育作为上层建筑，其价值取决于社会发展对教育功能的需求。所以，探讨“空间与图形”的教育价值，有必要研究数学课程自身（特别是几何课程）的发展及其社会背景。 20世纪中叶以来，数学的发展，特别是数学与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展，一些传统数学内容和要求也相应地有了改变；经济和社会的发展对21世纪的公民数学素养提出了具有时代特点的新的要求。 20世纪80年代以来，“几何”拓展为“空间与图形”是数学课程改革的一种国际趋势，其主要特征为： 强调几何建模过程 数学建模越来越被各国的数学教育所重视。“空间与图形”由于其自身的特点，在把实际问题转化为数学模型（几何建模）、以及这种模型的现实意义等方面，较之其他的数学模型更加直观、形象，更易于从现实情境中抽象出数学的概念、理论和方法。 几何推理的要求发生变化 欧几里德公理体系建立以来，几何与演绎推理论证结下不解之缘，几何教学培养推理能力的这种价值一直得到人们的重视。事实上，推理既有合情推理，也有演绎推理；而且从数学自身发展的过程可以看出：即使演绎推理也并非“几何”所独有，它广泛地存在于数学的各个分支中。所以，20世纪80年代以来，国际数学教育对几何推理的要求相应的发生了变化，其普遍趋势是：从纯粹的演绎推理转向较少的演绎推理，更多地强调从具体情景或前提出发进行合情推理；从单纯强调几何的推理价值转向更全面的体现几何教育价值，特别是几何在发展学生空间观念，以及观察、操作、实验、探索、并进行合情推理等方面“过程性”的教育价值。 “空间与图形”内容的整合 20世纪80年代以来，各国的数学教学普遍把平面几何和立体几何的内容进行整合，更多地采用直观和非形式化的手段，教学内容更紧密联系学生生活和社会发展，使学习者通过直接感受去理解和把握空间关系。 现代信息技术成为几何课程的“平台” 随着信息技术的迅速发展，计算机和科学计算器为“空间与图形”的教学提供了有力的工具，有效地转变了“空间与图形”教与学的方式；计算机和相关软件已经使许多过去难以甚至不可能解决的几何问题变得容易解决。 与此同时，我国的数学教学大纲、教材也经历数次变革，但从“几何”的课程内容和目标看：初中阶段仍主要是运用演绎推理的方法、依据扩大的公理化体系证明一些平面图形的性质；小学阶段则主要侧重于长度、面积和体积的计算，较少涉及三维空间的内容。 同时，由于教学内容呈现方式比较单一，也使学生的空间观念、空间想象力难以得到真正有效的发展。 20世纪80年代以来，我国中小学数学教学研究和改革不断深入，实践证明：不断改进几何教学方法，学生通过刻苦学习确实能掌握一些平面图形的性质，具有一定的逻辑推理能力。但大量的调查也表明：传统的平面几何教学又具有“双刃剑”功能；几何内容的过分抽象和“形式化”，缺少与现实生活的紧密联系，使“几何”直观的优势没有得到充分的发挥；过分强调演绎推理和“形式化”使不少学生怕学几何、甚至厌恶几何、远离几何，从而丧失学习的兴趣和信心。这种状况不改变，“空间与图形”的教育价值就不能得到全面、充分的体现。 《标准》在对以上“背景”进行认真分析，并重新审视传统几何课程目标的基础上，明确了义务教育阶段“空间与图形”的内容和课程目标是：突出“空间与图形”知识的现实背景，把课程内容与学生的生活经验有机地融合，与数学课程中各个分支进行整合，从而拓展“空间与图形”学习的背景，使学生更好地认识、理解和把握自己赖以生存的空间，发展学生的几何直觉、空间观念和推理能力（包括合情推理、演绎推理）；通过对基本图形的基本性质必要的论证，使学生体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想；注重使学生经历观察、操作、推理、想象等过程，倡导自主探索、合作交流与实践创新的学习方式，以真正体现“空间与图形”的教育价值。 作为《标准》的四个领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中的物体、几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及其变换，它是人们更好地认识和描述生活空间、并进行交流的重要工具。《标淮》将“几何”拓展为“空间与图形”，更加突出了这部分内容的主要特点及其教育价值。 （1）“空间与图形”的学习，有助于学生更好认识和理解人类的生存空间。 儿童最先感知的是三维世界，是“空间与图形”。人们认识周围世界的事物，常常需要描述事物的形状、大小，并用恰当的方式表述事物之间的关系。所以，图形直观、几何模型、以及几何图形的性质，是准确地描述现实世界空间关系和解决学习、生活和工作中各种问题的必备工具。特别是随着计算机制图和成像技术的发展，几何方法更是被广泛地运用到人类生活和社会发展的各个方面，因而“空间与图形”的教育价值首先在于使学生更好地认识、理解生活的空间，更好地生存和发展。 （2）“空间与图形”的学习，有助于培养学生的创新精神。 创新，源于“问题”，往往发端于直觉。与数学的其他分支相比，几何图形的直观形象，为学生进行自主探索、创新的活动提供了更有利的条件。即使解决相当简单的“空间与图形”问题，也常常要运用观察、操作、猜想、作图与设计等各种手段，在借助图形直观进行合情推理的过程中，学生能增强探究的好奇心，加深对数学的理解，激发出潜在的创造力，逐步形成创新意识。当代伟大的数学家M.阿蒂亚先生指出：几何是数学中这样的一个部分，其中视觉思维占主导地位……几何直觉是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。 是否可以这样说：几何，作为逻辑推理的体系，使学生学会“合乎逻辑的思考”、形成严谨求实的科学态度的功能，不是独有的、甚至是可以替代的；但作为一种直观、形象的数学模型，它在发展学生创新精神方面的价值，却是独特的、难以替代的。 （3）“空间与图形”的学习，有助于学生获得必需的知识和必要的技能，并初步发展空间观念、学会推理。 “空间与图形”的这种教育价值是显然的，也不难理解。《标准》中规定了三个学段“空间与图形”学习的具体内容，这为学生适应社会生活和继续学习打下必需的基础；《标准》对“证明”也提出了明确的要求：“从几个基本的事实出发，证明一些有关三角形、四边形的基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式，初步感受公理化思想”，《标准》同时指出：“应注重对证明的理解，而不追求证明的数量和技巧”（《标准第37页》），这就既保留了传统几何中推理论证的部分要求，又明确要防止过分“形式化”的证明，从而使学生能应用不同的形式进行推理，学会“合乎逻辑的思考”。 （4）“空间与图形”的学习，有助于促进学生全面、持续、和谐的发展。 《标准》指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展”，“强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象为数学模型并进行解释和应用的过程，使学生获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展”（《标准》第1页）。 在认识数学与现实世界的密切联系方面，“空间与图形”的作用是不可替代的；在构建直观的、形象化的数学模型方面，“空间与图形”也有其独特作用。图形的直观，不仅为学生感受、理解抽象的观念提供了有力的支撑，有助于学生获得相应的知识和技能；而且为学生自主探索图形的性质提供了方便，有助于培养学生合情推理和演绎推理能力。“空间与图形”不仅包括推理论证和相关的计算等内容，而且包括直观感知、操作确认及由此发展起来的几何直觉、学习情感等；“空间与图形”的教学，不仅能有效地发展学生的推理能力，而且能引导学生感受数学的思想方法，体验数学学习的乐趣，逐步积累数学活动经验，体验数学推理的力量和证明的意义，发展空间观念和自主创新的意识。 《标准》对“空间与图形”有助于促进学生全面持续和谐发展这种价值做了充分的挖掘和肯定。 2．加强与削弱的方面及其依据 《标准》不以欧几里德几何的公理体系为主线、不是严格按照知识的逻辑顺序呈现这个领域，而以“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”等四条线索展开，并根据儿童的生理和心理特征，把“空间与图形”的内容均衡地安排在三个学段中，明确了各个学段相应的目标，并逐段递进。《标准》对内容呈现的顺序也不作任何规定。 《标准》中“空间与图形”的四条线索都以图形为载体，以培养空间观念、几何直觉、推理能力，以及更好地认识与把握我们生存的现实空间为目标，不仅着眼于学生理解和掌握一些必要的几何事实，而且强调学生经历自主探索和合作交流的过程，形成积极的学习态度和情感。《标准》提倡以“问题情景椊⒛Ｐ蜅解释、应用与拓展、反思”的基本模式展现内容，让学生经历“数学化”和“再创造”的过程，不采用“公理、定义椂ɡ怼⑿灾蕳例题椣疤狻钡慕峁剐问健?/P> 此外，《标准》还加强（或增加）了如测量（包括估测）、物体的空间位置的确定，二维与三维图形间的转化(视图、展开图)…等内容。 《标准》之所以这样安排课程内容，旨在克服我国九年义务教育课程目标过于偏重基础知识与技能的倾向，克服重“概念与技能”、忽视“情感与态度、体验与反思、过程与自主创新”的弊端，努力调整以学科为中心的课程体系，全面落实数学课程的各项目标，努力构建以人的发展为中心的数学课程内容体系。 (1) 加强的方面及依据 ① 强调内容的现实背景，联系学生的生活经验和活动经验 《标准》强调“空间和图形”内容的选取应是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，紧密联系学生的生活经验和活动经验，拓宽几何学习的背景。比如，第一学段的内容就不仅包括常见的几何图形，而且还有现实世界中丰富多彩的二维、三维图形及其相关问题，如“某汽车的牌照倒映在水中，你能根据水中的影子确定该汽车的牌照号码吗”等。《标准》还强调内容呈现方式的多样化，突出数学活动的过程，提倡个性化的学习方式和策略，以及问题的开放性，这都为学生富有个性的发展提供了充分的时间和空间。 ② 加强了“图形变换”和“位置的确定”的有关内容 《标准》强调通过从不同角度观察、认识方向和描述物体的位置、绘制图案和制作模型等活动，增强学生用坐标、变换、推理等多种方式认识现实空间和处理几何问题的感受，体会并掌握刻画现实世界空间关系和认识图形特征的工具。 比如，《标准》在第一学段以“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体（如一辆汽车）的形状”这样的问题；引导学生接触丰富多彩的图形世界；第二学段以“画出从学校到你家路线的示意图，并注明方向和主要参照物”这样的问题，引导学生进一步感受图形变换和位置确定的方法，；第三学段以“物体的影子”为实例，引出中心投影、平行投影等现实而有趣的内容，还以生活中常见的各种图案为实例，引出物体的相似、图形的放大和缩小等内容，并介绍一些既有趣又反映现代几何发展的基本数学思想。这样，学生不仅知道“确定物体位置的不同方法”，而且感受到“空间与图形”的价值，初步了解“图形与空间”与自然、社会和人类生活密不可分的联系。 ③ 加强了几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念 《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型、从现实的生活空间中抽象出几何图形的过程，注重探索图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学段中，注重引导学生通过观察、操作、有条理的思考和推理、交流等活动，从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第三学段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式的活动，引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探索图形的性质，进一步认识图形及其性质，丰富几何活的动经验和良好体验，发展空间观念。 ④ 突出“空间与图形”的文化价值 《标准》中提出了“通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割”、“通过对欧几里德《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”等要求，力求通过介绍一些数学发展的史实（比如，有关七巧板的史料，规与矩的史料，勾股定理产生、证明及其推广的历史，勾股定理与无理数产生的关系，圆周率π产生的史料，黄金分割与建筑和艺术的设计等），使学生了解“空间与图形”有着丰富的历史渊源，认识我们祖先的智慧，增强民族自豪感，了解数学对社会发展的推动作用，感受“空间与图形”的文化内涵和文化价值。同时，《标准》还强调“空间与图形”与现代科技发展的联系，突出它的现代科技背景，如结合几何体的切、截介绍医用CT等，使学生进一步体会“空间与图形”与人类生活的密切关系。 ⑤ 重视量与测量，并把它融合在有关内容中，加强测量的实践性 《标准》把测量与学生的实践活动紧密联系在一起，让学生在做中学。比如，在第一学段中提出了“结合生活实际，经历用不同的方法测量物体的长度的过程；在测量活动中，体会建立统一度量单位的重要性”的要求，并以“用铅笔盒、橡皮等作为工具测量课桌长，并体会统一度量单位的必要性”作为范例，使学生真切地感受量的实际意义。 《标准》还强调引导学生在测量过程中根据现实问题，选择适合的测量方法和工具，以及利用测量进行数学探究活动。如第二学段中提出了“结合具体情境，探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体体积的计算方法”、“探索某些实物体积的测量方法”等要求；在第三学段中列出“会度量两条平行线之间的距离”、“利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）”等要求。 《标准》重视估测以及其在现实生活中的应用，如第二学段中提出了“能用方格纸估计不规则图形的面积”的要求等。 ⑥ 加强合情推理，调整“证明”的要求，强化理性精神 理性精神最基本的涵义在于对客观事实的尊重，质疑反思的习惯和与他人合作交流的意识。推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等，归纳和类比是合情推理的主要形式。《标准》指出：学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力”。从而把传统几何中偏重于演绎推理的“证明”，调整为合情推理与演绎推理相结合的“通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例”的过程，也就是说，学生获得数学结论应当经历合情推理棗演绎推理的过程。 《标准》还强调：推理能力的培养不应局限于“空间与图形”，而应该体现在数与代数、统计与概率等各个领域。对于“证明”，《标准》则要求学生养成“说理有据”的态度、尊重客观事实的精神和质疑的习惯，形成证明的意识，理解证明的必要性和意义，体会证明的思想，掌握证明的基本方法等等，而不是追求过于证明的技巧、证明的速度以及题目的数量和难度。 此外，《标准》还增加了图形变换、位置的确定、测量、视图与投影等内容，三个学段的要求如下： 第一学段 感受平移、旋转、对称现象。如要求学生指出下列现象中，哪些是平移或旋转：（1）方向盘的转动；（2）电梯的上下移动；（3）水龙头开关的转动；（4）钟摆的运动．学习描述物体相对位置的一些方法，会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。如桌上放着一个茶壶，四个人从前、后、左、右四个方向进行观察．请指出所给的四幅图分别是从哪个方位看到的；又如在东、南、西、北、东北、西北、东南、西南八个方向中，给定一个方向（东、南、西或北）后能辨认其余七个方向，会用这些词语描述物体所在的方向；会看简单的路线图． 进行简单的测量活动。如结合生活实际，经历用不同的方法测量物体长度（如：铅笔、文具盒等）的过程，体会建立统一度量单位的重要性；又如用自选的度量单位，通过观察、操作等活动，估计和测量一些物体的长度或面积，如估计和测量给定的长方形、正方形或一片树叶的周长和面积等。 第二学段 进一步学习图形变换。继续采用观察、操作、实验等手段，加深对简单几何体和图形的认识，如《标准》第25页例2、第26页例3。 注重通过观察物体、认识方向、制作模型、设计图案等活动，学习确定物体位置的方法，如《标准》第26页例7。 第三学段 注重联系生活实际，学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏并体验变换在现实生活中的广泛应用。 “图形与坐标”的内容中，强调学习运用坐标系确定物体位置的方法，感受图形变换后点的坐标的变化．如在坐标系中描出下列各点，并将各组的点顺次连接起来： ① （2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8）， （0，6），（0，2），（2，0）； ② （1，3），（2，2），（4，2），（5，3）； ③ （1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）； ④ （4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）； ⑤ （3，3）． 观察这个图形，你觉得它像什么？ 再如：如图所示，在直角坐标系中，图1中的“A”经过变换分别变成图2～图4中的相应图案（虚线对应于原图案），试写出图2～图4中各顶点的坐标，探索每次变换前后图案发生了什么变化、对应点的坐标之间有什么关系？ “视图与投影”的内容注重生活化、现实化，并有明确的目标和要求。如通过背景丰富的实例，知道物体的阴影是怎样形成的，并能根据光线的方向辨认实物的阴影（如在阳光或灯光下，观察手的阴影或人的身影）；了解视点、视角及盲区的涵义，并能在简单的平面图和立体图中表示；通过实例了解中心投影和平行投影． 此外，还适当增加和渗透反映现代几何学相关学科、领域的一些内容，如观察与现实生活有关的图片(如照片、简单的模型图、平面图、地图等．)，了解并欣赏一些有趣的图形(如雪花曲线、莫比乌斯带)等． （2）削弱的方面及依据 第一、二学段，削弱了单纯的平面图形面积、体积、周长等计算。这是因为，这两个学段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观念，因而《标准》把这类计算融于几何直观和反映空间观念的问题之中。 这里，有必要把《标准》中“空间与图形”内容安排的思路作一个说明：《标准》不采用这样的设计思路：即把小学（相当于第一、二学段）的几何内容作为初中几何的基础，侧重于有关图形数量的计算；而在初中阶段把研究对象拓展到相似形和圆，侧重于以演绎推理为主要形式的论证。《标准》将“空间与图形”的内容分别安排在三个学段，后一学段都是前一学段的螺旋式上升和自然发展。 第三学段，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，减少定理的数量棗用4条“基本事实”证明40条左右的结论；删去了大量繁难的几何证明题，淡化几何证明的技巧，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。 这样的安排，主要出于以下三点考虑：一是虽然几何论证在培养学生推理能力方面的作用勿用置疑，但几何论证又是一把“双刃剑”，为了体现义务教育阶段数学课程的基础性、普及性，适当降低几何论证的数量和难度是必要的。二是体现《标准》的基本理念棗人人学有价值的数学，这种价值应反映为有利于学生在数学思考、解决问题、情感与态度方面的发展，这种价值的实现主要并不在于证明的数量和繁难的程度，而在于知识的增长与能力的发展是否协调同步。三是推理不仅仅指演绎推理，还包括合情推理，这两种推理既不相同又相辅相成，单纯通过演绎推理发展推理能力是不完全的。因而《标准》在削弱演绎推理的同时，加强了合情推理；即使就发展学生演绎推理能力而言，其载体也不仅是“空间与图形”，“数与代数”、“概率与统计”以及“实践和综合应用”的教学都能有效的发展学生的推理能力。 这里，还有几个问题值得讨论和研究： 问题1 只要求证明这些定理，够不够？ 这里的“够不够”包括三层意思：就发展学生的推理能力而言，如前所说，只要教学中做到知识的增长与能力的发展协调同步，从而学生会从几个基本事实出发，用综合法证证明有关三角形、四边形的基本性质，就可以说学生具有了初步的演绎推理能力；就一个公民的数学素养而言，如果真正学懂了几十个定理的证明，达到了《标准》规定的目标，也就能够适应日常生活的需要了，这是“够不够”的第二层意思；“够不够”的第三层意思是“会不会影响后续的学习”，就终身学习的需要而言，当然还应当学习“空间与图形”的其他有关知识 ，这将在后续（高中）阶段进行。 问题2 第三学段是否还学习有关“相似形”和“圆”的有关内容？ “《标准》舍去了‘相似形’和‘圆’”的说法是一种误解。事实上，《标准》中保留了“相似形”和“圆”的部分内容，这里不妨把《标准》中的有关内容摘录如下： 《标准》第39页： （6）圆 ①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。③了解三角形的内心和外心。④了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。⑤会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。 《标准》第41页： （4）相似形 ①了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。②通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，面积的比对于对应边比的平方。③了解两个三角形相似的概念，探索两个三角形相似的条件。④了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小。⑤通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）。 不难看出：《标准》只是把上述图形的性质，由原来作为定理加以证明转变为通过探究去发现。即使像《标准》中并没有列入的“垂直于弦的直径的性质”（俗称“垂径定理”），仍然可以由学生利用轴对称通过直观操作（折纸）去发现，即用合情推理的方式去得到，只是不给以演绎推理的证明。 由上可见，《标准》中“空间与图形”总体的要求不是低了，在某些方面可能是高了。 3．内容处理上的一些特色和要求 《标准》在内容处理上的一些特色和要求，将分两部分加以阐述：一是三个学段共有的；二是各个学段特有的。 (1) 三个学段在内容处理上共有的特色和要求 ① 突出探究性活动，使学生亲历“做数学”的过程 《标准》在阐述“空间与图形”的内容时，大量使用“探索……性质”这样的句型，这反映了《标准》的“过程性”目标。要求学生在 “做数学”的活动中，通过自主探索认识和掌握图形性质，积累数学活动的经验，发展空间观念和推理的能力。 “空间与图形”的教学，应该从学生的生活经验和已有的知识出发，给学生呈现“现实的、有意义的、富有挑战性的”材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在自主探索的过程中获得知识和技能、掌握基本的数学思想和方法。与其它数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生对数学的情感体验。由于不同的学生常常表现出不同的数学学习倾向，探究活动的过程和结果也不尽相同，教学中应当充分满足多样化的学习需求。 ② 大力倡导“动手实践、自主探索、合作交流”的学习方式 学习方式的转变，是课程改革的一个重要目标。《标准》指出：“有效的数学学习活动不能靠单纯地依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”（标准第2页）。因此，《标准》在“空间与图形”的内容中，十分强调数学学习活动的情境设置和学生的主动参与。比如，用 “按已知点的坐标在坐标系中描出图形，将已知点的坐标进行一定的变化，并描出相应的图形，从而探索坐标的变化对图形形状的影响”、“用坐标确定某市旅游景点示意图(具有网格背景)中景点的位置” 等例子（参见《标准》44-45页，例4、5、6），以现实的、生动的情境呈现“图形与坐标”的内容，引导学生充满情趣地主动参与探索过程。又如，可以组织学生测量教学楼高度，其步骤大体如下：第一步，分组。讨论各种不同的测量方法。 第二步，小组分工。分别用不同的方法（如 直接测量教学楼的高度；先测量每层楼的高度， 再计算教学楼的高度；如图用镜面反射的方法） 测量等。 第三步，对各种测量方法是否简易可行，以及测量的结果是否准确等进行比较、质疑、评价。 第四步，推选小组代表向全班介绍测量的方案、过程和结果。 ③ 展示丰富多彩的几何世界，注重二维与三维的相互转换 人们生活在三维空间，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实、有趣的素材。因而，《标准》对三个学段中“空间与图形”的内容，按二维与三维互相交叉、互相转换的结构安排。内容的呈现大都采用直观几何、实验几何的方式，设置的情境贴近学生的现实生活和日常经验，使学生通过认识多姿多彩的图形，把“空间与图形”的学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 此外，在课程的实施中还可以通过专题的形式，使学生感受丰富多彩的图形世界。比如，把一张长30㎝、宽3㎝的长方形纸条扭转半圈，再将两端粘贴在一起，引导学生讨论：一支铅笔的笔尖从纸面上任何一点出发，能否不离开纸面而到达纸面的任何一处？能否回到原来的出发点？如果用剪刀沿着纸环的中央剪开，结果又会怎样…… 。这样，学生将在兴趣盎然的活动中感受二维平面与三维空间的奇妙转换。 (2) 各个学段在内容处理上的特色和要求 第一学段 本学段的内容包括图形的认识、测量、图形与变换、图形与位置等四个部分。《标准》在安排和处理本部分内容时，力图体现：结合学生的日常生活，通过观察、操作具体实物及模型，使学生获得比较丰富的直观体验，在此基础上逐渐归纳出一些基本的几何事实，形成初步的空间观念。在具体实施时，应注意以下几点： ① 通过实践活动，使学生增强直观体验，认识基本图形 本学段“空间与图形”的教学，应当从学生熟悉的生活情景出发，以直观和动手操作为基本手段，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系，并在此基础上逐步归纳得出关于“空间与图形”的一些基本事实。《标准》在第15-16页列出的18条具体目标中，除少数条目(如1.（3）等)外，几乎所有条目都明确提出在现实情景中辨认、操作、测量、描绘的要求，学生将在这样的实践活动中，不断增强直观体验，认识基本图形。本学段应避免考查学生对图形概念的记忆，而要结合现实素材和生活情境评价学生对图形的认识。 ② 强调对量的实际意义的理解，以及对测量过程的体验 根据《标准》中关于“测量”的具体目标（《标准》第15页），应组织学生开展测量活动，由学生自己选择测量工具和测量方式，并交流各自的测量结果和体会。比如，组织学生测量课桌的长度，他们可能不用标准的测量工具，而用铅笔、绳子…作为测量工具，测得课桌有6支铅笔长…，于是学生就能体会到统一测量单位的必要性。需要指出的是，测量活动不仅要关注结果的准确性，更要关注学生是否积极参与测量活动，能否采用不同的测量方法；要避免繁杂的单位换算，而应着重引导学生理解测量的实际意义和作用。 估测，是测量的一个重要组成部分。在实际生活中，对一个量的估计常常比精确计算它的大小更重要。因而，要开展如“一条绳子大约有多长？”、“教室的面积大约有多大？”等估测活动。进行这样的测量活动，不要仅仅在于获得结果，更要注重学生的积极参与和相互合作，以及通过活动发展学生的实践能力。比如，开展如下的估测活动将是有意义的： 测一测，你将实心球投出了多远？ 学生的测量活动将有各种不同的水平：一是按老师教的方法测量；二是按自己的某种方法（如步测、用绳子量、用米尺量、用卷尺量等）测量；三是通过小组合作，尝试用多种方法测量；四是不仅用多种方法测量，并能对各种测量方法进行比较，做出合理的解释。这样的学习活动及其结果，又为评价方式的改变创造了条件。 ③ 加强对周围环境和实物的直接感知，发展空间观念 本学段中，学生的空间观念将在观察和具体活动中逐步得到发展。所以，应当引导学生观察周围环境和物体的形状、大小及其所处方位，并通过操作、讨论、交流、探索等多种形式的活动，获得对简单几何体和平面图形的直接经验，感知现实的三维世界，形成初步的空间观念。比如，根据《标准》第16页第4.(2)的具体目标,可以要求学生：描述从学校到你家的路线；或画一张线路图，使别人能按照所画的线路图从学校出发找到你家。又如，请不同座位的几个学生观察讲台上的同一只茶杯，并每人把自己看到的画下来，然后要求其他学生辨认每一幅画是谁画的，从而初步认识视图。再如，根据《标准》第15页第1.（1）的具体目标，选用学生熟悉的实物（如粉笔盒、牙膏盒、篮球、乒乓球、饮料罐、万花筒、地球仪等），引导学生观察、触摸，找出这些实物主要的外形特征并进行分类，从而直观地认识长方体、正方体、圆柱和球等几何体。 ④ 注重内容的相互渗透、逐步深入、螺旋上升，循序渐进 《标准》根据学生的身心发展的规律，将课程内容按逐步渗透、深化、螺旋上升的方式编排，以实现本学段课程的具体目标。比如，对图形的认识，不仅体现在“图形的认识”的七条具体目标（《标准》第15页）中，而且在“测量”、“图形与变换”、“图形与位置”等各部分中都有不同方式、不同程度的渗透。又如，《标准》中指出的“描述物体的相对位置”，“描绘物体所在的方向”（《标准》第16页），“初步学会表达解决问题的大致过程和结果”（《标准》第9页）等目标，也只有在学生自主探索、反复尝试的过程中才能实现。所以，本学段课程的实施中，应经常为学生提供在实践基础上进行表达和交流的机会，而不应简单、机械地让学生模仿、背诵教师或课本上的语言。 第二学段 学生在第一学段学习的基础上，已经积累了一些的有关“图形与空间”的知识和经验，形成了一定程度的空间感。他们对周围事物感知和理解的能力以及探索图形及其关系的愿望不断提高。因此，本学段应更多关注：进一步丰富学生有关“空间与图形”的学习经验；在通过观察、操作等活动认识三角形、平行四边形、梯形、长方体、正方体等几何形体的过程中，进一步加强学生对图形的变换、位置的确定等内容的感受和了解，以及对测量过程的体验；充分利用各种教具、学具和现代信息技术，使学生认识和探索图形的过程更具趣味性和挑战性。在具体实施时，应注意以下几点： ① 适度把握本学段关于“图形的认识”的课程目标 这一学段的学生仍需借助与生活实际有关的具体情境认识“空间与图形”的内容，但他们已具备了一定的抽象思维能力，可以在比较抽象的水平上认识图形、进行探索。因此，本学段的课程目标，与第一学段“获得对简单几何体和平面图形的直观经验”有所不同，应使学生通过观察、操作、推理等手段，逐步认识简单几何体和平面图形的形状、大小、位置关系及变换。比如，本学段中诸如“了解两点确定一条直线和两条直线确定一个点”、“体会两点间所有连线中线段最短”、“了解三角形两边之和大于第三边”、“三角形内角和是180°”等具体目标，不仅要求学生进行各种形式的实践活动，而且要对活动的过程和结果进行思考和直观的推理。 应当注意：《标准》在“图形的认识”的具体目标中，提出了“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”这样的要求，并提供了相应的案例（《标准》第24、25页）。这样的内容突出了图形与生活的联系，学生在观察、猜想、判断、推理的过程中，将逐步建立空间与平面的联系，进一步发展空间观念。 应当指出：本学段课程实施中，注重从学生熟悉的生活实例出发，让学生在观察、操作等实践活动中进一步认识图形，仍然是十分重要的。这不仅是认识几何形体的需要，而且也有助于学生切实地感受到“身边的数学”，进而体验和认识到数学对于了解周围世界和解决实际问题的价值。 ② 正确理解本学段关于“测量”的具体目标 本学段“空间与图形”中，“测量”部分提出了七条具体目标（《标准》第24页），在实施过程中，要使学生通过实践活动掌握有关的测量知识和方法，因为数量的计算不仅有助于更好地认识物体的特征，而且在实际生活也是十分需要的；又要使学生了解测量的必要性，组织学生参与测量的全过程，而不要把“测量”当作单纯的图形面积和体积的计算。 此外，在第一学段的基础上，本学段要进一步加深学生对统一测量单位必要性的认识。比如，先让学生比较两个大小明显不同的物体（如书本和课桌）的表面积；再用重叠(如图1)、覆盖(如图2)等方法比较面积的大小；进而可自选工具进行测量；最后用标准的面积单位测量图形的面积。这样，学生不仅加深了对统一测量单位必要性的认识，而且亲自经历了统一测量单位的过程。
③ 明确图形变换（平移、对称和旋转等）的操作方式 了解图形的变换，对学生认识丰富多彩的现实世界、形成初步的空间观念，以及对图形美的感受和欣赏都是十分重要的。通过画简单的对称图形和运用平移、对称和旋转设计有趣的图案，有利于学生初步了解图形之间的关系，有利于发展学生的空间观念。 考虑到本学段学生的语言表达能力和动手操作能力有所提高，所以本学段“图形与变换”中四条具体目标的阐述有着明显的特点棗每条目标都对图形变换的操作方式作出了明确的界定，比如，“用折纸等方法…”、“利用方格纸等形式…”、“在方格纸上将…平移或旋转”、“在方格纸上设计图案”等。这种阐述的意图在于---以直观操作的方式，引导学生初步认识“图形与变换”的数学内涵。 实施中，不要单纯地介绍图形变换的知识，而应组织学生实践操作，从而体验图形变换的方法。比如，可要求学生利用图形变换制作一个美丽的图案：这是一个开放式的活动，学生可以从一个或几个简单的图形出发，按照自己的设想进行变换，得到新的图案；并可以不断地改变操作过程，使所得的图案更美；进而相互交流各自图案的特点，相互欣赏、评价图案的美以及设计的创新。 ④ 准确把握《标准》对本学段“图形与位置”的具体要求 本学段“图形与位置”中提出的四条具体目标（《标准》第25页），在第一学段“辨认方向”的基础上，明确了距离（包括利用比例进行距离换算）、根据方向和距离确定物体的位置、描述路线图、以及用数对表示位置等要求。这不仅能满足日常生活中“确定物体位置”的需要，而且也为进一步学习直角坐标系做了铺垫。 实施中，应当密切结合学生的生活实际，引导学生体验确定位置的重要性，掌握确定位置的一些具体方法。比如，可先要求一位学生说出其他同学座位的位置（如第3排第5列，第5排第3列…等）；再要求学生根据座位表图说出任何同学座位的位置；然后引导学生感知：表示一位同学的位置通常用两个数字，第一个数表示这个同学在第几排，第二个数表示这个同学在第几列，并把这样的两个数写成（3，5）的形式；最后，可要求任何一个学生说出表示自己的位置的数对，并在方格纸上根据数对确定位置。 又如，可以由小明描述从家到学校的路线、途经的主要建筑物（参照物）、以及相应的距离等，其他同学按小明的描述画示意图，然后分组讨论小明的描述、所画的示意图是否清楚、准确，并加以修改、完善。在这样过程中，学生不仅学会了“借助不同参照物确定物体的位置，并画出示意图”以及“在方格纸上连接用数对表示的点所构成的折线”；而且能感受到合作的意义和交流的重要性。 ⑤ 鼓励学生独立思考、自主探索、合作交流 在本学段的学习中，学生的求知欲和好奇心较强，由于学生的个体差异，不同的学生认识事物的方法不尽相同，要引导学生在独立思考、自主探索的基础上，大胆地与同学进行合作与交流，并鼓励解决问题的策略多样化。这样的过程，有助于培养学生的参与意识，通过与他人的交流可以学会用不同的方式探索和思考问题，不断提高自己的思维水平。 实施中，应多给学生提供这种合作探索和交流的机会。比如，认识平行四边形时，可以组织学生讨论，鼓励每一个学生说出自己对图形看法，不同的学生对图形特点的描述会是不一样的棗有的说出了图形中边的特点，有的说出了图形中角的关系，还可能说出平行四边形与其他图形（如长方形等）的区别等等，这样就可以使学生更全面地认识平行四边形。 第三学段 本学段中“空间与图形”包括四个方面的内容----图形的认识；图形与变换；图形与坐标；图形与论证。它们都围绕图形和空间问题而展开，既有内在的联系，又有各自的特点和侧重。比如，图形既可以通过折纸、画图等实践活动来认识，也可以利用图形变换的方法来认识；又如“图形与坐标”中既学习刻画点和图形的位置，也讨论点的坐标的变化与图形变化之间的关系等。在具体实施时，应注意以下几点： ① 准确把握“图形的认识”各部分内容的要求 第三学段要进一步加深学生对基本图形的认识，这里所说的基本图形主要包括点、线、面、角、平行线、相交线、三角形、四边形、圆。对这些图形的认识，不仅要像第一、二学段那样进一步丰富学生对图形的感性认识，而且还应引导学生通过推理认识图形性质的。此外，本学段的“图形的认识”还包括尺规作图、视图与投影的内容。 《标准》第37—40页中1.（1）--(6)，都是有关“基本图形及其性质的认识”的内容。对这部分内容，《标准》十分强调：结合实例、在实际背景中理解图形的概念和性质；经历探索图形性质的过程。比如，“通过丰富的实例，进一步认识点、线、面”，就是要求引导学生在实际背景中认识、理解这些概念，而不是通过形式化的描述“接受”概念。以“点”的概念为例，“点”没有大小和部分，这是抽象以后的概括，学生难以真正理解；但只要借助地图上用“点” 表示城市的位置、电视屏幕上的画面是由一个个小点组成的这些生活实例，学生就能体会“点”的意义。 《标准》第40页第1.（7），是有关尺规作图的内容。其中，包括四个基本作图棗作一条线段等于已知线段，作一条角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线；以及利用基本作图作三角形；探索过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆等。《标准》对尺规作图的要求作了明确的规定棗了解尺规作图的步骤；对于尺规作图题，会写已知、求作、和作法，但不要求证明棗即对所作的图形符合条件，不要求给出形式化的证明，当然可在适当的时候对其合理性作出解释。 《标准》第40页第1.(8)的“视图和投影”是新增的内容。其意图是：通过二维平面与三维空间及其图形的联系和转换，发展学生的空间观念。这部分内容主要包括： “会画简单几何体的三视图”，这里要求画的是三视图的示意图，而不是像机械制图那样的精确的图形；“会判断简单物体的三视图”，这里的要求是：能够在一组三视图中将指定的简单物体的三视图选出来。三视图在机械加工、建筑设计、家具制作……等生产、生活实践中有着广泛的应用，应结合实际让学生掌握有关的知识和技能。 “了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型”，引导学生从“侧面展开图”入手探索一些几何体的特征，有助于进一步理解二维与三维图形的关系，发展空间观念。 “了解并欣赏一些有趣的图形（如雪花曲线、 莫比乌斯带）”，主要是让学生体验一些图形的奇妙 性质。所谓“雪花曲线”，可以用如下方法作出（有 条件的学校可以用计算机作图）：如图所示，先将一 个等边三角形的每条边三等分，然后在每条边的中 段向外作等边三角形，并擦去中段；……不断重复 这样的过程，所得的曲线便是雪花曲线。可以引导 学生探索雪花曲线面积和周长令人惊异的性质棗 它具有有限的面积，但却有无限的周长（注：由于 “整条曲线可以画在一张很小纸上”，可能推测“它 的面积是有限的棗等于原三角形面积的1.6倍， 由它的周长可持续增加而没有界限，推测它的周长是无限的）。 “知道物体的阴影是怎么形成的”，“了解视点、 视角、盲区的涵义”，以及“了解中心投影和平行投影” 等，在现实生活中都有其应用，对于发展学生的空间观 念也有一定的作用。例如，小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在何处才不会被小猫发现呢？这是一个有趣而 具有一定意义的问题，如图所示，小猫对于几堵墙的盲区为1、2、3，老鼠只要呆在这样的区域中就可以了。 ② 适度把握“图形与变换”的具体目标和要求 本学段中 “图形与变换”的内容，主要包括图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转和图形的相似，其中绝大部分内容是新增加的。 轴对称变换、平移变换、旋转变换，是保持两点间距离不变的变换（称为合同变换或保距变换，这种变换改变图形的位置，但不改变图形的形状和大小不）；相似变换，是保持角的大小不变的变换（又称保角变换，这种变换不仅改变图形的位置，而且图形上两点间的距离也按一定比例发生变化，即改变图形的大小，但不改变图形的形状）。应当指出：《标准》并不要求从严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，从而研究图形的性质，而只要求“通过实例认识变换”，借助图形的直观探索轴对称、平移、旋转的基本性质，以及一些基本图形的性质，并能利用图形变换设计、欣赏图案。 《标准》中“图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转”的主要内容及具体要求（《标准》第40?1页）可综述如下： “通过具体实例认识轴对称（或平移、旋转），探索它们的基本性质”； “能按要求作出简单图形经过轴对称（或平移、旋转）后的图形”，能作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形”； “利用轴对称（或平移、旋转及其组合）进行图案设计”，“认识和欣赏轴对称（平移、旋转）在现实生活中的应用” “探索基本图形的轴对称（或平移、旋转）的性质及其相关性质”。 实施中，应当紧密联系学生熟悉的实例，使学生认识“生活中的图形变换”，要以观察、动手操作为主要方式组织学生开展实践活动，切实把握好“图形与变换”的具体目标，及其要求的“度”。如《标准》提出的“作出简单图形经过两次轴对称 后的图形”这样的要求，应当由学生自己通过实践操作（利用实物或折纸、画图）进行探索。如图，以l1为对称轴,图形Ⅰ轴对称变换 为图形Ⅱ；再以 l2为对称轴变换为图形Ⅲ，易知图形Ⅲ可以由图形 Ⅰ平移后得到；以S1为对称轴，图形A轴对称变换为图形B；再以S2为对称轴变换为图形C，易知图形C可以由图形A以O为中心旋转后得到。 利用变换设计图案更是十分有趣的实践活动，应当充分发挥学生的主动性和创造性，引导他们自己有创意地设计漂亮（复杂）的图案，有条件的可用计算机进行图案设计。在这样的活动中，学生将真切地感受图形变换的乐趣和价值。 《标准》把“了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小”，作为“图形与相似”中的一个具体目标，在实施中应当加以注意。 ③ “图形与坐标”的要求应准确定位 在第一、二学段“图形与位置”的基础上，《标准》在第三学段“图形与坐标”中介绍了直角坐标系，并以此为工具来确定点（图形）的位置。这部分内容的主要目标是：了解确定图形或物体的位置，以及坐标法的思想，探索点的坐标的变化与图形变换之间的关系。 实施中，应当把握这部分内容的关键棗在直角坐标系中“点”的位置的确定，以及图形变换后点的坐标的变化，这样就把“形”与“数”紧密地联系在一起。比如，可要求学生先填写下表（数量的关系）；再根据所填的表格，在直角坐标系中分别画出以每一列中的四个点为顶点的四边形ABCD（图形的确定）；然后观察这些四边形位置的关系，分析坐标的变化与图形变换的关系（坐标的变化使图形的位置随之改变，即图形作了如下的变换：把一个四边形向X轴方向拉长、或沿X轴平移、或关于X轴对称…等）。
《标准》在“图形与坐标”中提出的四条具体要求（《标准》第42页）中：第(1)、(2)两条与以往“平面直角坐标系“的内容基本相同；第(3)条棗“在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化”，则把坐标思想与图形变换的思想联系起来，并还可利用直角坐标系进行既不是平移、旋转、轴对称，又不是相似的一些变换，如图形向某一个方向“伸长”或“压缩”等。这样，图形变换不仅更加丰富多彩，而且不再是单纯的计算或操作。 ④ 正确理解“图形与证明”的具体目标，把握好“证明”的要求 如前所述，《标准》中“图形与证明”这部分内容较以往有了较大的调整，主要包括：加强合情推理，降低演绎推理的难度和数量；强调“理解证明的必要性”，以及“言之有理、落笔有据”，清晰且有条理地表达、交流，合乎逻辑地讨论、质疑等。（对此，本文的第2部分“加强和削弱的方面及其依据”、以及本书关于“推理能力”的阐释中均有详述，这里不再赘述） 实施中，推理与论证可以从以下几个方面展开：引导学生探索图形性质、并在与他人合作交流等活动过程中，不断发展合情推理，进一步学习有条理的思考与表达；，引导学生凭借积累的数学活动经验和探索得到的图形性质，从几个基本的事实出发，证明有关三角形、四边形的一些基本性质，从而体会证明的必要性，理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。（参阅《标准》第37页）． 关于“理解证明的必要性”，应当通过生活中、代数中、几何中的具体例子，使学生认识到：由观察、实验、归纳、类比得到的命题，其正确性有待于确认，因而合乎逻辑的推理证明是必要的。 关于作为证明依据的“基本事实”，《标准》只列出了四条（实际包括六条），是一个局部公理化的体系；而用这些“基本事实”证明的命题，仅限于三角形、四边形的主要性质。力图通过适量的、难度相当的命题证明，使学生既掌握证明的基本方法，又能体会证明的意义，协调地发展推理能力。 此外，《标准》还明确提出：“通过对欧几里得《几何原本》的介绍，（使学生）感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值”，这种价值反映为对人们思维方式的影响，实施中亦应给以必要的关注。
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